\(\int x^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx\) [285]

Optimal result

Integrand size = 20, antiderivative size = 387 \[ \int x^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\frac {6 i x^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {6 x \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 x^3 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {6 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {6 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {6 \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {6 \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \]

[Out]

9*I*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))/b^4-6*x*arctanh(exp(I*(b*x+a)))/b^3-3*x^3*arctanh(exp(I*(b*x+a)))/b-3/2*x^2*csc(
b*x+a)/b^2+6*I*x^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))/b^2-9*I*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))/b^4-9/2*I*x^2*polylog(2,exp(I*(b*
x+a)))/b^2+3*I*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))/b^4-3*I*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))/b^4+9/2*I*x^2*polylog(2,-exp(I*(b*
x+a)))/b^2-9*x*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^3+6*polylog(3,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^4-6*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))
/b^4+9*x*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^3-6*I*x*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^3+6*I*x*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a))
)/b^3+3/2*x^3*sec(b*x+a)/b-1/2*x^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a)/b

Rubi [A] (verified)

Time = 1.22 (sec) , antiderivative size = 387, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 40, number of rules used = 18, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.900, Rules used = {2702, 294, 327, 213, 4505, 14, 6408, 12, 4268, 2611, 6744, 2320, 6724, 6874, 4266, 2701, 2317, 2438} \[ \int x^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\frac {6 i x^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {6 x \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 x^3 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {6 \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {6 \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {6 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {6 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \]

[In]

Int[x^3*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

((6*I)*x^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (6*x*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (3*x^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))]
)/b - (3*x^2*Csc[a + b*x])/(2*b^2) + ((3*I)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (((9*I)/2)*x^2*PolyLog[2, -E^(
I*(a + b*x))])/b^2 - ((6*I)*x*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((6*I)*x*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/
b^3 - ((3*I)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (((9*I)/2)*x^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (9*x*PolyLog
[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4
+ (9*x*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((9*I)*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((9*I)*PolyLog[4, E^(I*(a
+ b*x))])/b^4 + (3*x^3*Sec[a + b*x])/(2*b) - (x^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 14

Int[(u_)*((c_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*u, x], x] /; FreeQ[{c, m}, x] && SumQ[u]
&&  !LinearQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (a_) + (b_.)*(v_) /; FreeQ[{a, b}, x] && InverseFunctionQ[v]]

Rule 213

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(-(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2])^(-1))*ArcTanh[Rt[b, 2]*(x/Rt[-a, 2])]
, x] /; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 294

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*((a + b*x^
n)^(p + 1)/(b*n*(p + 1))), x] - Dist[c^n*((m - n + 1)/(b*n*(p + 1))), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1), x
], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m + 1, n] &&  !ILtQ[(m + n*(p + 1) + 1)/n, 0]
&& IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

Rule 327

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*((a + b*x^n
)^(p + 1)/(b*(m + n*p + 1))), x] - Dist[a*c^n*((m - n + 1)/(b*(m + n*p + 1))), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 2317

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2320

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2438

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> Simp[-PolyLog[2, (-c)*e*x^n]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2611

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(
f + g*x)^m)*(PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[F])), x] + Dist[g*(m/(b*c*n*Log[F])), Int[(f + g*
x)^(m - 1)*PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2701

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Dist[-(f*a^n)^(-1), Subst
[Int[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && Integer
Q[(n + 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 2702

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[1/(f*a^n), Subst[Int
[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n
+ 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 4266

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(c + d*x)^m*(ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))]/f), x] + (-Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 4268

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(c + d*x)^m*(ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))]/f), x] + (-Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[d*(m/f), Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 4505

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Sec[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)*u
, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 6408

Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(c + d*x)^(m + 1)*((a + b*ArcTan
h[u])/(d*(m + 1))), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[(c + d*x)^(m + 1)*(D[u, x]/(1 - u^2)), x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
+ 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 6724

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6744

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[(e + f*x)^m*(PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p]/(b*c*p*Log[F])), x] - Dist[f*(m/(b*c*p*Log[F])), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 6874

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {3 x^3 \text {arctanh}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-3 \int x^2 \left (-\frac {3 \text {arctanh}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac {3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {\csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}\right ) \, dx \\ & = -\frac {3 x^3 \text {arctanh}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-3 \int \left (-\frac {3 x^2 \text {arctanh}(\cos (a+b x))}{2 b}-\frac {x^2 \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)}{2 b}\right ) \, dx \\ & = -\frac {3 x^3 \text {arctanh}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {3 \int x^2 \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x) \, dx}{2 b}+\frac {9 \int x^2 \text {arctanh}(\cos (a+b x)) \, dx}{2 b} \\ & = \frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {3 \int b x^3 \csc (a+b x) \, dx}{2 b}+\frac {3 \int \left (-3 x^2 \sec (a+b x)+x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{2 b} \\ & = \frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {3}{2} \int x^3 \csc (a+b x) \, dx+\frac {3 \int x^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x) \, dx}{2 b}-\frac {9 \int x^2 \sec (a+b x) \, dx}{2 b} \\ & = \frac {9 i x^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 x^3 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac {3 x^2 \text {arctanh}(\sin (a+b x))}{2 b^2}-\frac {3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {9 \int x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac {9 \int x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac {3 \int x \left (\frac {\text {arctanh}(\sin (a+b x))}{b}-\frac {\csc (a+b x)}{b}\right ) \, dx}{b}-\frac {9 \int x^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b}+\frac {9 \int x^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b} \\ & = \frac {9 i x^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 x^3 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac {3 x^2 \text {arctanh}(\sin (a+b x))}{2 b^2}-\frac {3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {(9 i) \int \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac {(9 i) \int \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac {(9 i) \int x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac {(9 i) \int x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac {3 \int \left (\frac {x \text {arctanh}(\sin (a+b x))}{b}-\frac {x \csc (a+b x)}{b}\right ) \, dx}{b} \\ & = \frac {9 i x^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 x^3 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac {3 x^2 \text {arctanh}(\sin (a+b x))}{2 b^2}-\frac {3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {9 \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(2,-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(2,i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 \int \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac {9 \int \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac {3 \int x \text {arctanh}(\sin (a+b x)) \, dx}{b^2}+\frac {3 \int x \csc (a+b x) \, dx}{b^2} \\ & = \frac {9 i x^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {6 x \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 x^3 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {(9 i) \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(3,-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {(9 i) \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(3,x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {3 \int \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac {3 \int \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac {3 \int b x^2 \sec (a+b x) \, dx}{2 b^2} \\ & = \frac {9 i x^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {6 x \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 x^3 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac {(3 i) \text {Subst}\left (\int \frac {\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {(3 i) \text {Subst}\left (\int \frac {\log (1+x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {3 \int x^2 \sec (a+b x) \, dx}{2 b} \\ & = \frac {6 i x^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {6 x \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 x^3 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {3 \int x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac {3 \int x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2} \\ & = \frac {6 i x^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {6 x \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 x^3 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {6 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {6 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {(3 i) \int \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac {(3 i) \int \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3} \\ & = \frac {6 i x^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {6 x \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 x^3 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {6 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {6 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {9 \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {3 \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(2,-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {3 \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(2,i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4} \\ & = \frac {6 i x^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {6 x \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 x^3 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 x^2 \csc (a+b x)}{2 b^2}+\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {6 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {6 i x \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {3 i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {9 i x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {6 \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {6 \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {9 i \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {3 x^3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 7.31 (sec) , antiderivative size = 672, normalized size of antiderivative = 1.74 \[ \int x^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=-\frac {x^3 \csc ^2\left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )}{8 b}+\frac {6 \left (i b^2 x^2 \arctan (\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))+i b x \operatorname {PolyLog}(2,i \cos (a+b x)-\sin (a+b x))-i b x \operatorname {PolyLog}(2,-i \cos (a+b x)+\sin (a+b x))-\operatorname {PolyLog}(3,i \cos (a+b x)-\sin (a+b x))+\operatorname {PolyLog}(3,-i \cos (a+b x)+\sin (a+b x))\right )}{b^4}+\frac {3 \left (2 b x \log (1-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))+b^3 x^3 \log (1-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))-2 b x \log (1+\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))-b^3 x^3 \log (1+\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))+i \left (2+3 b^2 x^2\right ) \operatorname {PolyLog}(2,-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))-i \left (2+3 b^2 x^2\right ) \operatorname {PolyLog}(2,\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))-6 b x \operatorname {PolyLog}(3,-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))+6 b x \operatorname {PolyLog}(3,\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))-6 i \operatorname {PolyLog}(4,-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))+6 i \operatorname {PolyLog}(4,\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))\right )}{2 b^4}+\frac {x^3 \sec ^2\left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )}{8 b}+\frac {x^2 \csc (a) \sec (a) (-3 \cos (a)+2 b x \sin (a))}{2 b^2}+\frac {3 x^2 \csc \left (\frac {a}{2}\right ) \csc \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right ) \sin \left (\frac {b x}{2}\right )}{4 b^2}-\frac {3 x^2 \sec \left (\frac {a}{2}\right ) \sec \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right ) \sin \left (\frac {b x}{2}\right )}{4 b^2}+\frac {x^3 \sin \left (\frac {b x}{2}\right )}{b \left (\cos \left (\frac {a}{2}\right )-\sin \left (\frac {a}{2}\right )\right ) \left (\cos \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )-\sin \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )\right )}-\frac {x^3 \sin \left (\frac {b x}{2}\right )}{b \left (\cos \left (\frac {a}{2}\right )+\sin \left (\frac {a}{2}\right )\right ) \left (\cos \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )+\sin \left (\frac {a}{2}+\frac {b x}{2}\right )\right )} \]

[In]

Integrate[x^3*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

-1/8*(x^3*Csc[a/2 + (b*x)/2]^2)/b + (6*(I*b^2*x^2*ArcTan[Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]] + I*b*x*PolyLog[2, I*C
os[a + b*x] - Sin[a + b*x]] - I*b*x*PolyLog[2, (-I)*Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x]] - PolyLog[3, I*Cos[a + b*x] -
Sin[a + b*x]] + PolyLog[3, (-I)*Cos[a + b*x] + Sin[a + b*x]]))/b^4 + (3*(2*b*x*Log[1 - Cos[a + b*x] - I*Sin[a
+ b*x]] + b^3*x^3*Log[1 - Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]] - 2*b*x*Log[1 + Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]] - b^3
*x^3*Log[1 + Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]] + I*(2 + 3*b^2*x^2)*PolyLog[2, -Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]] - I
*(2 + 3*b^2*x^2)*PolyLog[2, Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]] - 6*b*x*PolyLog[3, -Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]]
+ 6*b*x*PolyLog[3, Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]] - (6*I)*PolyLog[4, -Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]] + (6*I)*P
olyLog[4, Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]]))/(2*b^4) + (x^3*Sec[a/2 + (b*x)/2]^2)/(8*b) + (x^2*Csc[a]*Sec[a]*(-3
*Cos[a] + 2*b*x*Sin[a]))/(2*b^2) + (3*x^2*Csc[a/2]*Csc[a/2 + (b*x)/2]*Sin[(b*x)/2])/(4*b^2) - (3*x^2*Sec[a/2]*
Sec[a/2 + (b*x)/2]*Sin[(b*x)/2])/(4*b^2) + (x^3*Sin[(b*x)/2])/(b*(Cos[a/2] - Sin[a/2])*(Cos[a/2 + (b*x)/2] - S
in[a/2 + (b*x)/2])) - (x^3*Sin[(b*x)/2])/(b*(Cos[a/2] + Sin[a/2])*(Cos[a/2 + (b*x)/2] + Sin[a/2 + (b*x)/2]))

Maple [F]

\[\int x^{3} \csc \left (x b +a \right )^{3} \sec \left (x b +a \right )^{2}d x\]

[In]

int(x^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x)

[Out]

int(x^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x)

Fricas [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1747 vs. \(2 (315) = 630\).

Time = 0.36 (sec) , antiderivative size = 1747, normalized size of antiderivative = 4.51 \[ \int x^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(x^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*(6*b^3*x^3*cos(b*x + a)^2 - 4*b^3*x^3 + 6*b^2*x^2*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - 3*((3*I*b^2*x^2 + 2*I)*cos(b
*x + a)^3 + (-3*I*b^2*x^2 - 2*I)*cos(b*x + a))*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 3*((-3*I*b^2*x^2 - 2*I)*
cos(b*x + a)^3 + (3*I*b^2*x^2 + 2*I)*cos(b*x + a))*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 12*(-I*b*x*cos(b*x +
a)^3 + I*b*x*cos(b*x + a))*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 12*(-I*b*x*cos(b*x + a)^3 + I*b*x*cos(b*x +
a))*dilog(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 12*(I*b*x*cos(b*x + a)^3 - I*b*x*cos(b*x + a))*dilog(-I*cos(b*x +
a) + sin(b*x + a)) - 12*(I*b*x*cos(b*x + a)^3 - I*b*x*cos(b*x + a))*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 3*
((3*I*b^2*x^2 + 2*I)*cos(b*x + a)^3 + (-3*I*b^2*x^2 - 2*I)*cos(b*x + a))*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))
- 3*((-3*I*b^2*x^2 - 2*I)*cos(b*x + a)^3 + (3*I*b^2*x^2 + 2*I)*cos(b*x + a))*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x
+ a)) - 3*((b^3*x^3 + 2*b*x)*cos(b*x + a)^3 - (b^3*x^3 + 2*b*x)*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a
) + 1) - 6*(a^2*cos(b*x + a)^3 - a^2*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - 3*((b^3*x^3 + 2*b*
x)*cos(b*x + a)^3 - (b^3*x^3 + 2*b*x)*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + 6*(a^2*cos(b*x +
a)^3 - a^2*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) - 6*((b^2*x^2 - a^2)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*x^2
- a^2)*cos(b*x + a))*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 6*((b^2*x^2 - a^2)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*x^2 -
a^2)*cos(b*x + a))*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 6*((b^2*x^2 - a^2)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*x^2 - a^2
)*cos(b*x + a))*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 6*((b^2*x^2 - a^2)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*x^2 - a^2)*
cos(b*x + a))*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 3*((a^3 + 2*a)*cos(b*x + a)^3 - (a^3 + 2*a)*cos(b*x +
a))*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - 3*((a^3 + 2*a)*cos(b*x + a)^3 - (a^3 + 2*a)*cos(b*x +
a))*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) + 3*((b^3*x^3 + a^3 + 2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a)^3 - (b^3
*x^3 + a^3 + 2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) - 6*(a^2*cos(b*x + a)^3 - a^2*
cos(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) + 3*((b^3*x^3 + a^3 + 2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a)^3 - (b^3
*x^3 + a^3 + 2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + 6*(a^2*cos(b*x + a)^3 - a^2*
cos(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) - 18*(-I*cos(b*x + a)^3 + I*cos(b*x + a))*polylog(4, cos
(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 18*(I*cos(b*x + a)^3 - I*cos(b*x + a))*polylog(4, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))
- 18*(-I*cos(b*x + a)^3 + I*cos(b*x + a))*polylog(4, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 18*(I*cos(b*x + a)^3 -
I*cos(b*x + a))*polylog(4, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 18*(b*x*cos(b*x + a)^3 - b*x*cos(b*x + a))*polyl
og(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + 18*(b*x*cos(b*x + a)^3 - b*x*cos(b*x + a))*polylog(3, cos(b*x + a) - I*
sin(b*x + a)) + 12*(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a))*polylog(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 12*(cos(b*x + a
)^3 - cos(b*x + a))*polylog(3, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 12*(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a))*polylog(3,
-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 12*(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a))*polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)
) - 18*(b*x*cos(b*x + a)^3 - b*x*cos(b*x + a))*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 18*(b*x*cos(b*x +
a)^3 - b*x*cos(b*x + a))*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)))/(b^4*cos(b*x + a)^3 - b^4*cos(b*x + a))

Sympy [F]

\[ \int x^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\int x^{3} \csc ^{3}{\left (a + b x \right )} \sec ^{2}{\left (a + b x \right )}\, dx \]

[In]

integrate(x**3*csc(b*x+a)**3*sec(b*x+a)**2,x)

[Out]

Integral(x**3*csc(a + b*x)**3*sec(a + b*x)**2, x)

Maxima [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 3940 vs. \(2 (315) = 630\).

Time = 0.77 (sec) , antiderivative size = 3940, normalized size of antiderivative = 10.18 \[ \int x^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(x^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/4*(a^3*(2*(3*cos(b*x + a)^2 - 2)/(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a)) - 3*log(cos(b*x + a) + 1) + 3*log(cos(b*x
+ a) - 1)) - 4*(12*((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2 + ((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*cos(6*b*x + 6*a) -
((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*cos(4*b*x + 4*a) - ((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*cos(2*b*x + 2*a) +
(I*(b*x + a)^2 - 2*I*(b*x + a)*a + I*a^2)*sin(6*b*x + 6*a) + (-I*(b*x + a)^2 + 2*I*(b*x + a)*a - I*a^2)*sin(4
*b*x + 4*a) + (-I*(b*x + a)^2 + 2*I*(b*x + a)*a - I*a^2)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x + a), sin(b*x + a)
+ 1) + 12*((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2 + ((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*cos(6*b*x + 6*a) - ((b*x +
a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*cos(4*b*x + 4*a) - ((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*(b*x
+ a)^2 - 2*I*(b*x + a)*a + I*a^2)*sin(6*b*x + 6*a) + (-I*(b*x + a)^2 + 2*I*(b*x + a)*a - I*a^2)*sin(4*b*x + 4*
a) + (-I*(b*x + a)^2 + 2*I*(b*x + a)*a - I*a^2)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x + a), -sin(b*x + a) + 1) - 6
*((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x + a) + ((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x +
a) - 2*a)*cos(6*b*x + 6*a) - ((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x + a) - 2*a)*cos(4*b*x + 4*a) -
((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x + a) - 2*a)*cos(2*b*x + 2*a) - (-I*(b*x + a)^3 + 3*I*(b*x +
a)^2*a + (-3*I*a^2 - 2*I)*(b*x + a) + 2*I*a)*sin(6*b*x + 6*a) - (I*(b*x + a)^3 - 3*I*(b*x + a)^2*a + (3*I*a^2
+ 2*I)*(b*x + a) - 2*I*a)*sin(4*b*x + 4*a) - (I*(b*x + a)^3 - 3*I*(b*x + a)^2*a + (3*I*a^2 + 2*I)*(b*x + a) -
2*I*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*a)*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) - 12*(a*cos(6*b*x + 6*a) - a*cos(4*b*x
+ 4*a) - a*cos(2*b*x + 2*a) + I*a*sin(6*b*x + 6*a) - I*a*sin(4*b*x + 4*a) - I*a*sin(2*b*x + 2*a) + a)*arctan2(
sin(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) - 6*((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x + a) + ((b*x + a)^3 - 3*
(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - ((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x +
a))*cos(4*b*x + 4*a) - ((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-I*(b*x + a
)^3 + 3*I*(b*x + a)^2*a + (-3*I*a^2 - 2*I)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) - (I*(b*x + a)^3 - 3*I*(b*x + a)^2*a +
(3*I*a^2 + 2*I)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - (I*(b*x + a)^3 - 3*I*(b*x + a)^2*a + (3*I*a^2 + 2*I)*(b*x + a))*
sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) + 12*(-I*(b*x + a)^3 + (b*x + a)^2*(3*I*a - 1) + (-
3*I*a^2 + 2*a)*(b*x + a) - a^2)*cos(5*b*x + 5*a) + 8*(I*(b*x + a)^3 - 3*I*(b*x + a)^2*a + 3*I*(b*x + a)*a^2)*c
os(3*b*x + 3*a) + 12*(-I*(b*x + a)^3 + (b*x + a)^2*(3*I*a + 1) + (-3*I*a^2 - 2*a)*(b*x + a) + a^2)*cos(b*x + a
) + 24*(b*x*cos(6*b*x + 6*a) - b*x*cos(4*b*x + 4*a) - b*x*cos(2*b*x + 2*a) + I*b*x*sin(6*b*x + 6*a) - I*b*x*si
n(4*b*x + 4*a) - I*b*x*sin(2*b*x + 2*a) + b*x)*dilog(I*e^(I*b*x + I*a)) - 24*(b*x*cos(6*b*x + 6*a) - b*x*cos(4
*b*x + 4*a) - b*x*cos(2*b*x + 2*a) + I*b*x*sin(6*b*x + 6*a) - I*b*x*sin(4*b*x + 4*a) - I*b*x*sin(2*b*x + 2*a)
+ b*x)*dilog(-I*e^(I*b*x + I*a)) + 6*(3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 3*a^2 + (3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a +
3*a^2 + 2)*cos(6*b*x + 6*a) - (3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 3*a^2 + 2)*cos(4*b*x + 4*a) - (3*(b*x + a)^2 -
6*(b*x + a)*a + 3*a^2 + 2)*cos(2*b*x + 2*a) + (3*I*(b*x + a)^2 - 6*I*(b*x + a)*a + 3*I*a^2 + 2*I)*sin(6*b*x +
6*a) + (-3*I*(b*x + a)^2 + 6*I*(b*x + a)*a - 3*I*a^2 - 2*I)*sin(4*b*x + 4*a) + (-3*I*(b*x + a)^2 + 6*I*(b*x +
a)*a - 3*I*a^2 - 2*I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2)*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) - 6*(3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 3*a^
2 + (3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 3*a^2 + 2)*cos(6*b*x + 6*a) - (3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 3*a^2 + 2)
*cos(4*b*x + 4*a) - (3*(b*x + a)^2 - 6*(b*x + a)*a + 3*a^2 + 2)*cos(2*b*x + 2*a) - (-3*I*(b*x + a)^2 + 6*I*(b*
x + a)*a - 3*I*a^2 - 2*I)*sin(6*b*x + 6*a) - (3*I*(b*x + a)^2 - 6*I*(b*x + a)*a + 3*I*a^2 + 2*I)*sin(4*b*x + 4
*a) - (3*I*(b*x + a)^2 - 6*I*(b*x + a)*a + 3*I*a^2 + 2*I)*sin(2*b*x + 2*a) + 2)*dilog(e^(I*b*x + I*a)) + 3*(I*
(b*x + a)^3 - 3*I*(b*x + a)^2*a + (3*I*a^2 + 2*I)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^3 - 3*I*(b*x + a)^2*a + (3*I*a^2 +
2*I)*(b*x + a) - 2*I*a)*cos(6*b*x + 6*a) + (-I*(b*x + a)^3 + 3*I*(b*x + a)^2*a + (-3*I*a^2 - 2*I)*(b*x + a) +
2*I*a)*cos(4*b*x + 4*a) + (-I*(b*x + a)^3 + 3*I*(b*x + a)^2*a + (-3*I*a^2 - 2*I)*(b*x + a) + 2*I*a)*cos(2*b*x
+ 2*a) - ((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x + a) - 2*a)*sin(6*b*x + 6*a) + ((b*x + a)^3 - 3*(b*
x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x + a) - 2*a)*sin(4*b*x + 4*a) + ((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x
+ a) - 2*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 2*I*a)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + 3*(-I*(b*x
+ a)^3 + 3*I*(b*x + a)^2*a + (-3*I*a^2 - 2*I)*(b*x + a) + (-I*(b*x + a)^3 + 3*I*(b*x + a)^2*a + (-3*I*a^2 - 2*
I)*(b*x + a) + 2*I*a)*cos(6*b*x + 6*a) + (I*(b*x + a)^3 - 3*I*(b*x + a)^2*a + (3*I*a^2 + 2*I)*(b*x + a) - 2*I*
a)*cos(4*b*x + 4*a) + (I*(b*x + a)^3 - 3*I*(b*x + a)^2*a + (3*I*a^2 + 2*I)*(b*x + a) - 2*I*a)*cos(2*b*x + 2*a)
+ ((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x + a) - 2*a)*sin(6*b*x + 6*a) - ((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)
^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x + a) - 2*a)*sin(4*b*x + 4*a) - ((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + (3*a^2 + 2)*(b*x + a)
- 2*a)*sin(2*b*x + 2*a) + 2*I*a)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 6*(I*(b*x + a)^2
- 2*I*(b*x + a)*a + I*a^2 + (I*(b*x + a)^2 - 2*I*(b*x + a)*a + I*a^2)*cos(6*b*x + 6*a) + (-I*(b*x + a)^2 + 2*I
*(b*x + a)*a - I*a^2)*cos(4*b*x + 4*a) + (-I*(b*x + a)^2 + 2*I*(b*x + a)*a - I*a^2)*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x +
a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*sin(6*b*x + 6*a) + ((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*sin(4*b*x + 4*a) + ((b*x +
a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + 6*(
-I*(b*x + a)^2 + 2*I*(b*x + a)*a - I*a^2 + (-I*(b*x + a)^2 + 2*I*(b*x + a)*a - I*a^2)*cos(6*b*x + 6*a) + (I*(b
*x + a)^2 - 2*I*(b*x + a)*a + I*a^2)*cos(4*b*x + 4*a) + (I*(b*x + a)^2 - 2*I*(b*x + a)*a + I*a^2)*cos(2*b*x +
2*a) + ((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*sin(6*b*x + 6*a) - ((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*sin(4*b*x +
4*a) - ((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2)*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x +
a) + 1) - 36*(cos(6*b*x + 6*a) - cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(6*b*x + 6*a) - I*sin(4*b*x + 4*a
) - I*sin(2*b*x + 2*a) + 1)*polylog(4, -e^(I*b*x + I*a)) + 36*(cos(6*b*x + 6*a) - cos(4*b*x + 4*a) - cos(2*b*x
+ 2*a) + I*sin(6*b*x + 6*a) - I*sin(4*b*x + 4*a) - I*sin(2*b*x + 2*a) + 1)*polylog(4, e^(I*b*x + I*a)) + 24*(
I*cos(6*b*x + 6*a) - I*cos(4*b*x + 4*a) - I*cos(2*b*x + 2*a) - sin(6*b*x + 6*a) + sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x
+ 2*a) + I)*polylog(3, I*e^(I*b*x + I*a)) + 24*(-I*cos(6*b*x + 6*a) + I*cos(4*b*x + 4*a) + I*cos(2*b*x + 2*a)
+ sin(6*b*x + 6*a) - sin(4*b*x + 4*a) - sin(2*b*x + 2*a) - I)*polylog(3, -I*e^(I*b*x + I*a)) + 36*(I*b*x*cos(
6*b*x + 6*a) - I*b*x*cos(4*b*x + 4*a) - I*b*x*cos(2*b*x + 2*a) - b*x*sin(6*b*x + 6*a) + b*x*sin(4*b*x + 4*a) +
b*x*sin(2*b*x + 2*a) + I*b*x)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) + 36*(-I*b*x*cos(6*b*x + 6*a) + I*b*x*cos(4*b*x +
4*a) + I*b*x*cos(2*b*x + 2*a) + b*x*sin(6*b*x + 6*a) - b*x*sin(4*b*x + 4*a) - b*x*sin(2*b*x + 2*a) - I*b*x)*po
lylog(3, e^(I*b*x + I*a)) + 12*((b*x + a)^3 - (b*x + a)^2*(3*a + I) + (3*a^2 + 2*I*a)*(b*x + a) - I*a^2)*sin(5
*b*x + 5*a) - 8*((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + 3*(b*x + a)*a^2)*sin(3*b*x + 3*a) + 12*((b*x + a)^3 - (b*x +
a)^2*(3*a - I) + (3*a^2 - 2*I*a)*(b*x + a) + I*a^2)*sin(b*x + a))/(-4*I*cos(6*b*x + 6*a) + 4*I*cos(4*b*x + 4*a
) + 4*I*cos(2*b*x + 2*a) + 4*sin(6*b*x + 6*a) - 4*sin(4*b*x + 4*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a) - 4*I))/b^4

Giac [F]

\[ \int x^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\int { x^{3} \csc \left (b x + a\right )^{3} \sec \left (b x + a\right )^{2} \,d x } \]

[In]

integrate(x^3*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^3*csc(b*x + a)^3*sec(b*x + a)^2, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int x^3 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx=\int \frac {x^3}{{\cos \left (a+b\,x\right )}^2\,{\sin \left (a+b\,x\right )}^3} \,d x \]

[In]

int(x^3/(cos(a + b*x)^2*sin(a + b*x)^3),x)

[Out]

int(x^3/(cos(a + b*x)^2*sin(a + b*x)^3), x)